Wiki90: 90s Style Encyclopedia på webben
Välkommen till den fascinerande världen av Irrationella tal. I den här artikeln kommer vi att noggrant utforska alla aspekter relaterade till Irrationella tal, från dess ursprung till dess inverkan på dagens samhälle. Under de kommande raderna kommer vi att upptäcka vad som gör Irrationella tal så relevant, vilka trender som är aktuella och vart det är på väg i framtiden. Oavsett om du är expert på Irrationella tal eller precis börjat bekanta dig med ämnet, kommer den här artikeln att ge dig en komplett och uppdaterad översikt över allt du behöver veta om Irrationella tal. Gör dig redo att fördjupa dig i en kunskaps- och upptäcktsresa om Irrationella tal!
Inom matematiken är irrationella tal reella tal som inte är rationella tal, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal samt b skilt från noll. Det går att beskriva som mängden av alla reella tal som inte tillhör de rationella talen
Det kan visas att de irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Ett irrationellt tal är antingen ett algebraiskt tal eller ett transcendent tal.
De irrationella talens kardinalitet är kontinuums mäktighet. Informellt uttryckt betyder det att nästan alla reella tal är irrationella.
Enkla exempel på irrationella tal är kvadratroten ur två, π och basen för den naturliga logaritmen, e. Nedan följer ett antal bevis för irrationaliteten för ett antal klasser av tal.
Ett naturligt tal är kvadratfritt om det inte finns någon primtalskvadrat som delar det. Kvadratroten av tal som är kvadratfritt är irrationellt, speciellt ger detta att kvadratrötterna av alla primtal är irrationella.
Detta kan visas med ett motsägelsebevis. Antag att d är ett kvadratfritt tal. Då finns ett tal n så att
som ger
Antag nu att , dvs att kvadratroten är rationell, och att q är det minsta talet då kvadratroten kan skrivas på detta sätt, det minsta positiva heltalet så att är ett heltal. Man får då att
också är ett heltal. Men av olikheten ovan får man att
så att är alltså ett mindre heltal som multiplicerat med blir ett heltal. Detta motsäger definitionen av q och alltså är irrationellt.
Man kan visa att vissa logaritmer av tal är irrationella med motsägelsebevis.
Antag exempelvis att är rationellt, dvs:
för heltal m och n. Det följer att
Med primtalsfaktoriseringar av 10 och 2 får man att
Dock följer av aritmetikens fundamentalsats att vänsterled och högerled aldrig kan vara lika, då m och n är heltal, eftersom både 5 och 2 är primtal och därmed inte delar några primtalsfaktorer. Alltså är 10-logaritmen av 2 irrationell.
|
|